GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Fehlergrenze</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fehlergrenze</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der praktischen <a href="Messtechnik" title="Messtechnik">Messtechnik</a> sind die Fehlergrenzen vereinbarte oder garantierte Höchstwerte für positive oder negative <a href="Messabweichung" title="Messabweichung">Abweichungen</a> der Anzeige (Ausgabe) einer <a href="Messeinrichtung" title="Messeinrichtung">Messeinrichtung</a> vom <a href="Richtiger_Wert" title="Richtiger Wert">richtigen Wert</a>.<a href="#cite_note-D19-1">[1]</a> Fehlergrenzen sind begrifflich streng zu unterscheiden von den tatsächlichen Messabweichungen und von der <a href="Messunsicherheit" title="Messunsicherheit">Messunsicherheit</a>.

Beim Kauf eines Messgerätes werden im Allgemeinen die tatsächlichen Abweichungen nicht angegeben, wohl aber werden bei einem seriösen Hersteller in der Regel deren Höchstwerte unter festgelegten Bedingungen garantiert. Fehlergrenzen hängen ab vom technischen Aufwand und von prinzipiellen Grenzen. Der Betrag der zufälligen Messabweichungen ist häufig gegenüber der Fehlergrenze vernachlässigbar klein; sonst soll er bei der Festlegung der Fehlergrenze berücksichtigt werden.<a href="#cite_note-D19-1">[1]</a>

In einer neueren messtechnischen Norm wird statt des Begriffs Fehlergrenze der Begriff Grenzabweichung verwendet.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Außerhalb der Messtechnik entspricht dem Begriff Fehlergrenze der Begriff Abweichungsgrenzbetrag.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

Es gibt eine obere und eine untere Fehlergrenze. Meistens sind beide gleich groß und werden dann als symmetrischen Fehlergrenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> bezeichnet. Die Fehlergrenzen sind stets Beträge und werden daher ohne Vorzeichen angegeben.<a href="#cite_note-D19-1">[1]</a>

Es gilt für die (absolute) Abweichung bzw. den (absoluten) Fehler <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |F|\leq G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f11f7d3b92f59c6b343266c7ecfd7473048a4ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.96ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |F|\leq G}" loading="lazy"> .</dd></dl>

Entsprechend gibt es eine relative Fehlergrenze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> derart, dass für die relative Abweichung bzw. den relativen Fehler <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> gilt

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f|\leq g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02c756cef8fcf9a69fa745c71335e5acd2b18579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f|\leq g}" loading="lazy"> .</dd></dl>

Die Bezugsgröße für die relative Fehlergrenze ist wie beim <a href="Messabweichung#Relative_Messabweichung" title="Messabweichung">relativen Fehler</a> der richtige Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/044e7a8546346e93fcc74c4754233e852dec8f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.303ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{r}}" loading="lazy"> ;

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=G/|x_{r}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62cb1058ecca06dbd0728ac0636340f0def72805.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.801ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g=G/|x_{r}|}" loading="lazy"> .</dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schreibweise">Schreibweise</h2></div>

Der angezeigte (ausgegebene) Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc83e1ad0eaf733b246521d51f5880901c563a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.432ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{a}}" loading="lazy"> liegt dann in einem Bereich

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{r}-G\leq x_{a}\leq x_{r}+G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9816b36e173cb78df53ae411ce8f8283048dde22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.57ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{r}-G\leq x_{a}\leq x_{r}+G}" loading="lazy"> .</dd></dl>

Dieses wird verkürzt zur Schreibweise

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{a}=x_{r}\pm G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86ac6b46c1bd4d8eed1075cc50651d0dc4412fef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.501ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{a}=x_{r}\pm G}" loading="lazy"> ,</dd></dl></dd></dl>

was keineswegs so gedeutet werden darf, als ob <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc83e1ad0eaf733b246521d51f5880901c563a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.432ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{a}}" loading="lazy"> nur zwei Werte annehmen könnte.

Soll die relative Fehlergrenze im Ergebnis vorkommen, so ist das möglich, indem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/044e7a8546346e93fcc74c4754233e852dec8f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.303ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{r}}" loading="lazy"> ausgeklammert wird:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{a}=x_{r}\cdot \left(1\pm {\frac {G}{x_{r}}}\right)=x_{r}\cdot (1\pm g)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b18f063fab0962b693588d858795a06b5e48b734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.085ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x_{a}=x_{r}\cdot \left(1\pm {\frac {G}{x_{r}}}\right)=x_{r}\cdot (1\pm g)}" loading="lazy"> .</dd></dl></dd></dl>

Keineswegs darf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{r}\pm g}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{r}\pm g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a415571c50c95e4419c7894e9fc9fa36a041b70c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.26ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{r}\pm g}" loading="lazy"> geschrieben werden, weil dann ein Wert mit der Einheit der Messgröße und ein Wert mit der <a href="Einheit_Eins" class="mw-redirect" title="Einheit Eins">Einheit Eins</a> zu addieren wären.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quantitative_Angaben">Quantitative Angaben</h2></div>

Bei der quantitativen Angabe von Unsicherheiten und Fehlergrenzen ist die Qualität einer Angabe im Blick zu behalten.

<ul><li>Beispiel: Eine Angabe „5 %“ dürfte eine Schätzung beinhalten und für „etwa 5 %“ stehen; die „5“ ist in diesem Zusammenhang niemals mathematisch exakt, dass man ihr nach dem Komma beliebig viele Nullen anhängen könnte. Eine Angabe „4,8 %“ wird kaum ein Indiz erhöhter Sorgfalt sein.</li></ul>

Aus einer „groben“ Ausgangsposition lassen sich keine „feinen“ Ergebnisse ableiten, denn aus den Regeln zur <a href="Fehlerfortpflanzung" title="Fehlerfortpflanzung">Fehlerfortpflanzung</a> von Fehlergrenzen bei voneinander unabhängigen Werten ergibt sich (siehe unten: Rechnen mit Fehlergrenzen):

<dl><dd>Das Ergebnis kann nie genauer werden als das, was hineingesteckt wird. (Eine Ausnahme gilt bei zufälligen Fehlern: Hier wird nach wiederholten Messungen der Mittelwert genauer als der Einzelmesswert).</dd></dl>

<ul><li>Beispiel: 5 %·15,6 V = 0,8 V und nicht 0,78 V,</li></ul>

<dl><dd>es sei denn, 5,0 % kann verantwortlich angegeben werden.</dd></dl>

Diese Forderung entspricht der Forderung in <a href="DIN_1333" class="mw-redirect" title="DIN 1333">DIN 1333</a>: Unsicherheiten werden mit einer signifikanten Stelle angegeben, ausgenommen bei den Ziffern 1 oder 2, dann werden zwei <a href="Signifikante_Stellen" title="Signifikante Stellen">signifikante Stellen</a> angegeben.

<ul><li>Beispiel: 5 %·35,6 V = 1,8 V und nicht 2 V.</li></ul>

Eine führende Null ist nicht signifikant.

<ul><li>Beispiel: Die Angabe 0,8 V enthält nur eine signifikante Stelle.</li></ul>

Es liegt im Begriff des Grenzwertes, dass nur auf- und nicht abgerundet werden darf; entsprechendes gilt für die Unsicherheit nach DIN 1333. Eigentlich wäre eine Fehlergrenze 5 %·6,2 V = 0,31 V auf 0,4 V auf- und nicht auf 0,3 V abzurunden; doch sollte man hier ein gewisses Augenmaß behalten, denn bereits 4,8 %·6,2 V < 0,3 V.

Es ist nicht falsch, in Zwischenschritten genauer zu rechnen, damit sich Rundungsfehler nicht aufschaukeln, und erst im Ergebnis dessen Fehlergrenzen zu beachten, siehe auch <a href="Signifikante_Stellen#Signifikante_Stellen_in_der_Messtechnik" title="Signifikante Stellen">Signifikante Stellen</a>.

Angaben und Beispiele zu Messgeräte-Fehlergrenzen findet man

<ul><li>für analoge elektrische Messgeräte unter <a href="Genauigkeitsklasse" title="Genauigkeitsklasse">Genauigkeitsklasse</a> gemäß DIN EN 60051,</li>

<li>für digitale elektrische Messgeräte unter <a href="Digitalmultimeter" title="Digitalmultimeter">Digitalmultimeter</a>, <a href="Messger%C3%A4tefehler" class="mw-redirect" title="Messgerätefehler">Messgerätefehler</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rechnen_mit_Fehlergrenzen">Rechnen mit Fehlergrenzen</h2></div>

Kann man ein Messergebnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> erst aus mehreren voneinander unabhängigen Messwerten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> ausrechnen, so ist mathematisch gesagt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y(x_{1},\ x_{2},\ \cdots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/111309f3bfe47a8a15328866c9072f7a7d62bbeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.326ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=y(x_{1},\ x_{2},\ \cdots )}" loading="lazy"></dd></dl>

Änderungen der unabhängigen Variablen um ein kleines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d03804c96ca38a2bff889eaf13470785aca25fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.065ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta x_{i}}" loading="lazy"> werden mit der Funktion übertragen und führen zu einer Änderung der abhängigen Variablen um ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7caae142d915be8ef4d8c423bf91d1f6ea10e8e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.091ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta y}" loading="lazy">, und zwar gemäß den Regeln der Mathematik

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta y\approx {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\Delta x_{2}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e84897edbe46971c4879334756637124ceefc4dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.31ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta y\approx {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\Delta x_{2}+\cdots }" loading="lazy"> .</dd></dl>

Kennt man nicht die Änderungen (Messfehler oder Messabweichungen) selber, sondern nur ihre Grenzwerte (Fehlergrenzen) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dd9fe8d455762608cc4e0a946b452492790ee5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.626ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{i}}" loading="lazy"> , so lässt sich damit auch nur die Fehlergrenze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9edc1535536d90898dcc0aea79aa3b1919c54b2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.876ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{y}}" loading="lazy"> des Ergebnisses angeben; dabei ist im Sinne des Grenzwertes die ungünstigste Vorzeichenkombination der Summanden zu Grunde zu legen

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{y}=\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right|G_{1}+\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right|G_{2}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0eff067bc51d327c5484404510354c952e99cd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.578ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle G_{y}=\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right|G_{1}+\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right|G_{2}+\cdots }" loading="lazy"> .</dd></dl>

Diese Formel vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten zu leicht merkbaren Regeln

<ul><li>bei Addition und Subtraktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad G_{y}=G_{1}+G_{2}+\cdots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad G_{y}=G_{1}+G_{2}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b77ac8f0acb80d63e9b0235715b46aaf3039890d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.463ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad G_{y}=G_{1}+G_{2}+\cdots }" loading="lazy"> ,</li></ul>

<dl><dd><dl><dd>also Summe der absoluten Fehlergrenzen,</dd></dl></dd></dl>

und mit Verwendung der relativen Fehlergrenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i}=G_{i}/|x_{i}|\ {;}\quad g_{y}=G_{y}/|y|}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i}=G_{i}/|x_{i}|\ {;}\quad g_{y}=G_{y}/|y|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfc9232e5be0d84759e96bce8fcef343b6b417f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.514ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g_{i}=G_{i}/|x_{i}|\ {;}\quad g_{y}=G_{y}/|y|}" loading="lazy">

<ul><li>bei Multiplikation und Division <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad g_{y}=g_{1}+g_{2}+\cdots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad g_{y}=g_{1}+g_{2}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09d1d223829e3d568ba860052b76cc66aea27265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.31ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \quad g_{y}=g_{1}+g_{2}+\cdots }" loading="lazy"> ,</li></ul>

<dl><dd><dl><dd>also Summe der relativen Fehlergrenzen.</dd></dl></dd></dl>

Beispiel: Mit dem ohmschen Gesetz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U=I\cdot R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=I\cdot R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a83c0289e4b9c2f2cc5c394ca23125641c24e60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.496ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U=I\cdot R}" loading="lazy"> soll <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> bestimmt werden.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> = 2 mA · (1 ± 2 %) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> = 12 kΩ · (1 ± 5 %), dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> = 24 V · (1 ± 7 %).</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Eichfehlergrenze" title="Eichfehlergrenze">Eichfehlergrenze</a>, <a href="Verkehrsfehlergrenze" title="Verkehrsfehlergrenze">Verkehrsfehlergrenze</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-D19-1">↑ <a href="#cite_ref-D19_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-D19_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-D19_1-2">c</a> <a href="DIN_1319" title="DIN 1319">DIN 1319</a>-1:1995-01, Grundlagen der Messtechnik – Grundbegriffe, Nr. 5.12.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> DIN EN 60751:2009-05.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> DIN 55350-12:1989:03, Begriffe der Qualitätssicherung und Statistik – Merkmalsbezogene Begriffe.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-08-05" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Fehlergrenze&oldid=258610799">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>